LÝ THUYẾT TOÁN 11 HỌC KÌ 2

     

Tổng hợp kỹ năng và kiến thức cần nỗ lực vững, các dạng bài xích tập và thắc mắc có năng lực xuất hiện nay trong đề thi HK2 Toán học tập 11 sắp tới tới


Phần 1

GIỚI HẠN

I. GIỚI HẠN DÃY SỐ

1. Dãy số có số lượng giới hạn hữu hạn

Định nghĩa: Ta nói hàng số (left( u_n ight)) có số lượng giới hạn là số thực (L) nếu (mathop lim limits_n o + infty left( u_n - L ight) = 0).

Bạn đang xem: Lý thuyết toán 11 học kì 2

Khi đó, ta viết: (mathop lim limits_n o + infty left( u_n ight) = L), viết tắt là (lim left( u_n ight) = L) hoặc (lim u_n = L).

Định lý 1: Giả sử (lim u_n = L). Lúc đó:

i) (lim left| u_n ight| = left| L ight|) cùng (lim sqrt<3>u_n = sqrt<3>L).

ii) trường hợp (u_n ge 0) với mọi (n) thì (L ge 0) với (lim sqrt u_n = sqrt L )

Định lý 2: Giả sử (lim u_n = L,lim v_n = M) cùng (c) là một trong hằng số. Khi đó:

i) các dãy số (left( u_n + v_n ight),left( u_n - v_n ight),left( u_n.v_n ight)) cùng (left( c.u_n ight)) có giới hạn là:

+) (lim left( u_n + v_n ight) = L + M)

+) (lim left( u_n - v_n ight) = L - M)

+) (lim left( u_n.v_n ight) = L.M)

+) (lim left( c.u_n ight) = c.L)

ii) giả dụ (M e 0) thì dãy số (left( fracu_nv_n ight)) có số lượng giới hạn là (lim fracu_nv_n = fracLM).

Một số dãy số tất cả giới hạn thường gặp:

+) (lim frac1n = 0,lim frac1sqrt n = 0,lim frac1sqrt<3>n = 0,...)

+) giả dụ (left| q ight| Chú ý: Định lý trên vẫn hợp lý cho trường đúng theo (x o x_0^ + ,x o x_0^ - ,)(x o + infty ,x o - infty )

2. Định lí về số lượng giới hạn một bên

()(mathop lim limits_x o x_0 f(x) = L)( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0^ - f(x) = mathop lim limits_x o x_0^ + f(x) = L)

3. Các nguyên tắc tìm số lượng giới hạn vô rất của hàm số

+) nếu như (mathop lim limits_x o x_0 left| fleft( x ight) ight| = + infty )thì (mathop lim limits_x o x_0 frac1fleft( x ight) = 0)

+ Bảng quy tắc

*

*

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: (S = fracu_11 - q,|q| ­0 thì (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = f(x_0))

3. (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^n = 0) (với n > 0)

III. HÀM SỐ LIÊN TỤC

1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng chừng K với (x_0 in K).

Hàm số y = f(x) được gọi là tiếp tục tại (x_0) nếu (mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight)).

2. Một số định lý cơ bản

ĐL 1:

Hàm số nhiều thức liên tiếp trên R.

- Hàm phân thức hữu tỉ và những hàm lượng giác liên tiếp trên từng khoảng của tập xác minh của chúng.

ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, mến của hai hàm số thường xuyên tại (x_0) là số đông hàm số liên tục tại (x_0) (trường phù hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại (x_0)).

ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tiếp trên (left< a;b ight>) cùng f(a).f(b) Phương pháp:

- Sử dụng các quy tắc vẫn học để tính.

- Nếu giới hạn của hàm số yêu cầu tính có một trong những bốn dạng (frac00); (fracinfty infty ); (infty - infty ); 0.∞ thì ta đề nghị khử dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng phối hợp hoặc chia cả tử cùng mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu...

Xem thêm: Bài 16 Trang 15 Sgk Toán 6 Tập 2 : Rút Gọn Phân Số, Bài 16 Trang 15 Sgk Toán 6 Tập 2

Cụ thể:

* Dạng (frac00):

- nếu tử, mẫu mã là hồ hết đa thức thì ta để thừa số (left( x - x_0 ight)) làm cho nhân tử tầm thường và rút gọn nhân tử này ta sẽ chuyển được giới hạn về dạng xác định.

- ví như tử giỏi mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc chủng loại và cũng rút gọn gàng thừa số (left( x - x_0 ight))ở tử và mẫu ta sẽ gửi được giới hạn về dạng xác định.

Cần chú ý các công thức biến hóa sau:

(eginarrayla pm b = fraca^2 - b^2a mp b\a pm b = fraca^3 pm b^3a^2 mp ab + b^2endarray)

+ trường hợp PT f(x) = 0 tất cả nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)

+ liên hợp của biểu thức:

1.(sqrt a - sqrt b ) là (sqrt a + sqrt b )

2. (sqrt a + sqrt b ) là (sqrt a - sqrt b )

3.(sqrt<3>a - b) là (sqrt<3>a^2 + sqrt<3>a.b + b^2)

4. (sqrt<3>a + b) là (sqrt<3>a^2 - sqrt<3>a.b + b^2)

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2limits_ )

b) (mathop mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1limits_ )

Giải:

(eginarrayla),,,mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x^2 - 4 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x - 2 ight)left( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2left( x - 2 ight)\ = mathop lim limits_x o 2 fracleft( x + 2 ight)left( x^2 + 4 ight)x^2 = frac4.84 = 8endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 2 fracx^4 - 16x^3 - 2x^2 = 8.)

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1\ = mathop lim limits_x o 1 frac4 - left( 3x + 1 ight)left( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac3 - 3xleft( x^2 - 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x - 1 ight)left( x - 1 ight)left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - 3left( x + 1 ight)left( 2 + sqrt 3x + 1 ight)\ = frac - 3left( 1 + 1 ight)left( 2 + sqrt 3.1 + 1 ight) = - frac38endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 frac2 - sqrt 3x + 1 x^2 - 1 = - frac38.)

* Dạng (fracinfty infty ):

- phân tách cả tử và mẫu đến xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu.

- tiếp nối dùng những định lý về số lượng giới hạn của tổng, hiệu, tích cùng thương thuộc giới hạn (mathop lim limits_x o pm infty frac1x^k = 0) với k nguyên dương.

Ví dụ:Tìm những giới hạn sau: 

a) (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4)

b) (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3)

Giải:

(eginarrayla),,mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 - frac16x^3 + frac2x^41 - frac2x^2 + frac4x^4\ = frac3 - 0 + 01 - 0 + 0 = 3endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty frac3x^4 - 16x + 2x^4 - 2x^2 + 4 = 3).

(eginarraylb),,,mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3\ = mathop lim limits_x o - infty fracfrac1x - frac5x^2 + frac1x^3frac10x^3 - 2\ = frac0 - 0 + 00 - 2 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o - infty fracx^2 - 5x + 110 - 2x^3 = 0)

* Dạng (infty - infty ):

- trường hợp (x o x_0) thì ta quy đồng chủng loại số để đưa về dạng (frac00).

Nếu (x o pm infty ) thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để mang về dạng (fracinfty infty ).

Ví dụ: Tìm những giới hạn sau:

a) (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight))

b) (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight))

Giải:

a) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( frac1 + x + x^2 - 31 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 left( fracx^2 + x - 21 - x^3 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x - 1 ight)left( x + 2 ight)left( 1 - x ight)left( 1 + x + x^2 ight)\ = mathop lim limits_x o 1 frac - x - 21 + x + x^2 = - 1endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1 left( frac11 - x - frac31 - x^3 ight) = - 1)

b) Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight)\ = mathop lim limits_x o + infty fracleft( 4x^2 + 3x + 1 ight) - 4x^2sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3x + 1sqrt 4x^2 + 3x + 1 + 2x\ = mathop lim limits_x o + infty frac3 + frac1xsqrt 4 + frac3x + frac1x^2 + 2\ = frac32 + 2 = frac34endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o + infty left( sqrt 4x^2 + 3x + 1 - 2x ight) = frac34).

* Dạng 0.∞

- Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số chuyển đổi như gửi thừa số vào trong dấu căn, quy đồng chủng loại số,...ta có thể đưa số lượng giới hạn đã đến về dạng quen thuộc thuộc.

Ví dụ: Tìm giới hạn sau: (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 ).

Giải: Ta có

(eginarraylmathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)left( x - 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)^2left( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = mathop lim limits_x o 1^ + left( x^2 + x + 1 ight)sqrt fracxleft( x - 1 ight)left( x + 1 ight) \ = 3.0 = 0endarray)

Vậy (mathop lim limits_x o 1^ + left( x^3 - 1 ight)sqrt fracxx^2 - 1 = 0).

2. Dạng 2Tính tổng của CSN lùi vô hạn

- sử dụng công thức: (S = fracu_11 - q,|q| Ví dụ: Tính tổng (S = - 1 + frac110 - frac110^2 + ... + fracleft( - 1 ight)10^n - 1^n + ...)

Giải:

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn cùng với (u_1 = - 1) cùng q = ( - frac110).

Xem thêm: Giải Ngữ Văn 8 Bài Tức Nước Vỡ Bờ (Chi Tiết), Soạn Văn 8 Vnen Bài 3: Tức Nước Vỡ Bờ

Vậy (S = frac - 11 - left( - frac110 ight) = - frac1011).

3. Dạng 3: Xét tính liên tiếp của hàm số

3.1 Xét tính tiếp tục của hàm số trên điểm:

- Dạng I: mang đến h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx e x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&khieginarray*20cx = x_0&endarrayendarrayendarray ight.)

Xét tính tiếp tục của h/s tại điểm x0?

Phương pháp chung:

B1: tra cứu TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) = f(x0) ( Rightarrow ) KL thường xuyên tại x0

- Dạng II: cho h/s (f(x) = left{ eginarraylf_1(x)eginarray*20c&khiendarrayeginarray*20cx ge x_0&endarray\f_2(x)eginarray*20c&{khieginarray*20cx 0?

3.2 Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên một khoảng

Phương pháp chung:

B1: Xét tính liên tiếp của h/s trên các khoảng đơn

B2: Xét tính thường xuyên của h/s tại các điểm giao

B3: Kết luận

3.3 Tìm đk của tham số để hàm số liên tiếp tại x0

Phương pháp chung:

B1: tìm TXĐ: D = R

B2: Tính f(x0); (mathop lim limits_x o x_0 f(x))

B3: Hàm số liên tục tại (x_0) ( Leftrightarrow mathop lim limits_x o x_0 f(x) = fleft( x_0 ight))

3.4 Sử dụng tính liên tiếp của hàm số để chứng tỏ phương trình có nghiệm

Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT bao gồm nghiệm bên trên (left< a;b ight>):

B1: Tính f(a), f(b) Þ f(a).f(b) 2: kiểm tra tính liên tục của hàm số f(x) trên (left< a;b ight>)

B3: kết luận về số nghiệm của PT bên trên (left< a;b ight>)

Ví dụ: CMR phương trình (x^7 + 3x^5 - 2 = 0) có tối thiểu một nghiệm

Xét hàm số (fleft( x ight) = x^7 + 3x^5 - 2) liên tục trên R phải f(x) thường xuyên trên <0;1>

Và (left. eginarray*20cfleft( 0 ight) = - 2 0endarray ight Rightarrow fleft( 0 ight).fleft( 1 ight)