Các công thức tính nguyên hàm

     

Nguyên hàm là trong những chuyên đề đặc trưng của Giải tích Toán 12 với thường mở ra nhiều trong các kì thi đại học. Vậy bao hàm công thức nguyên hàm quan trọng nào yêu cầu nhớ? Team dannguyenpiano.com.vn Education sẽ giúp các em đáp án và tìm nắm rõ hơn về bảng bí quyết nguyên hàm trường đoản cú cơ phiên bản đến nâng cao và phương thức giải bài xích tập nguyên hàm thịnh hành qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Các công thức tính nguyên hàm


Nguyên hàm là gì?

Trước khi, đi sâu vào tìm hiểu công thức về nguyên hàm, các em cần nắm vững khái niệm nguyên hàm cũng như các đặc thù và định lý liên quan.

Định nghĩa nguyên hàm

Cho hàm số f(x) xác định trên K, bây giờ hàm số F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K ví như F’(x) = f(x) (với đông đảo x ∊ K, K rất có thể là khoảng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).

Kí hiệu nguyên hàm của hàm số f(x) là:


Định lý nguyên hàm

3 định lý của nguyên hàm là:

Định lý 1: giả sử F(x) là 1 trong những nguyên hàm của f(x) trên K. Lúc đó, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một trong những nguyên hàm của f(x).Định lý 2: trên K, nếu F(x) là một trong nguyên hàm của hàm số f(x) thì đầy đủ nguyên hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, cùng với C là 1 trong những hằng số tùy ý.Định lý 3: bên trên K, tất cả hàm số f(x) liên tục đều sở hữu nguyên hàm.

Tính chất nguyên hàm

3 đặc thù cơ phiên bản của nguyên hàm được diễn tả như sau:


eginaligned&footnotesizeull extNếu f(x) là hàm số tất cả nguyên hàm thi: (smallint f(x)dx)"=f(x) extvà \ &footnotesizesmallint f"(x)dx=f(x) +C.\&footnotesizeull extNếu F(x) gồm đạo hàm thì smallint d(F(x))=F(x)+C.\&footnotesizeull extTích của nguyên hàm với k là hằng số khác 0: smallint kf(x)dx=ksmallint f(x)dx.\&footnotesizeull extTổng, hiệu của nguyên hàm: smallint =smallint f(x)dxpm smallint g(x)dxendaligned

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản, mở rộng và nâng cao

Mỗi dạng nguyên hàm đều có những cách làm riêng. Những phương pháp này đã làm được tổng hợp thành các bảng dưới đây để những em tiện lợi phân loại, ghi lưu giữ và vận dụng chính xác.


*

*

*

*

2 phương thức giải bài xích tập nguyên hàm phổ biến

Phương pháp đổi trở thành số

Đây là phương pháp được thực hiện rất đôi khi giải nguyên hàm. Do vậy, các em cần phải nắm vững phương pháp này để giải các bài toán nguyên hàm cấp tốc và đúng đắn hơn.

Phương pháp đổi biến hóa loại 1:

Cho hàm số u = u(x) gồm đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) thường xuyên để f xác định trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:

∫fu"(x)dx = F + C

Cách giải:

Đầu tiên, chọn t = φ(x) cùng tính vi phân nhị vế: dt = φ"(t)dt.

Sau đó, biến hóa biểu thức thành: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Xem thêm: Youtube Trả Tiền Youtube Được Tính Như Thế Nào Và Bao Nhiêu ?

Phương pháp đổi vươn lên là loại 2: Khi đề bài cho hàm số f(x) liên tục trên K với x = φ(t) là 1 trong hàm số xác định, liên tục trên K và tất cả đạo hàm là φ"(t). Cơ hội này:

∫f(x)dx = ∫f<φ(t)>.φ"(t)dt

Cách giải:

Đầu tiên, chọn x = φ(t) với lấy vi phân hai vế: dx = φ"(t)dt.

Thực hiện biến chuyển đổi: f(x)dx = f<φ(t)>φ"(t)dt = g(t)dt.

Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.

Phương pháp nguyên hàm từng phần

Phương pháp chung

Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) với v(x) bao gồm đạo hàm thường xuyên trên K thì:


small smallint u(x)v"(x)dx=u(x)v(x)-smallint v(x)u"(x)dx exthay smallint udv=uv-smallint vdu\ ( extvới du=u"(x)dx, dv=v"(x)dx)
Cách giải:

Trước hết, những em cần thay đổi tích phân thứ nhất về dạng:


I=int f(x)dx=int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo, đặt:


egincasesu=f_1(x)\dv=f_2(x)endcasesimplies egincasesdu=f"_1(x)dx\v=int f_2(x)dxendcases
Lúc này thì những em vẫn có:


smallint udv=uv-smallint vdu
Tùy nằm trong vào từng dạng toán rõ ràng mà các em áp dụng phương pháp sao mang lại phù hợp.

Các dạng nguyên hàm từng phần hay gặp

Dạng 1:


*

Dạng 2:


Dạng 3:


Bài tập về bí quyết nguyên hàm

Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12

Đề bài:

a. Hãy nêu có mang nguyên hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng.

b. Phương thức tính nguyên hàm từng phần là gì? Đưa ra lấy ví dụ như minh họa cho cách tính đã nêu.

Hướng dẫn giải bài xích tập:

a. Xét hàm số y = f(x) xác minh trên tập xác minh D.

Hàm số Y = F(x) được hotline là nguyên hàm của hàm số y = f(x) trên D lúc Y = F(x) thỏa mãn điều kiện F"(x) = f(x) ∀ x ∈ D.

Xem thêm: Tranh Vườn Trường Mơ Ước Của Em, Vẽ Vườn Trường Mơ Ước Của Em

b.

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần được tư tưởng như sau:

Cho 2 hàm số u = u(x) với v = v(x) có đạo hàm liên tục trên D, lúc ấy ta tất cả công thức: